Strehler-Mildvan correlation is a degenerate manifold of Gompertz fit

Tarkhov, A. E., Menshikov, L. I., & Fedichev, P. O. (2017). Strehler-Mildvan correlation is a degenerate manifold of Gompertz fit. Journal of Theoretical Biology, 416, 180-189. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2017.01.017

Совсем свежая публикация группы российских исследователей – Андрей Тархов, Леонид Меньшиков и Петр Федичев – проливает свет на природу любопытного феномена, многократно зафиксированного в биологических исследованиях старения организмов животных и людей – корреляции Стрелера-Милдвана. Еще на стадии публикации препринта статьи биолог и демограф Леонид Гаврилов вступил в активную дискуссию с авторами исследования в Фейсбуке. Леонид Анатольевич любезно согласился на предложение Демографического Дайджеста рассказать о новой статье и об истории вопроса. Тема достаточно специфичная, поэтому обзор свежей статьи предваряется исторической справкой.

О корреляции Стрелера-Милдвана

Корреляция Стрелера-Милдвана – это обратная зависимость между двумя параметрами формулы Гомперца1, описывающей экспоненциальный рост смертности с возрастом. Стрелер и Милдван обнаружили2, что в странах с большим начальным уровнем смертности (предэкспоненциальным множителем), смертность растет с возрастом медленнее (показатель экспоненты меньше). При анализе данных Стрелер и Милдван не учитывали случайную, фоновую смертность (параметр Мейкема3), анализируя данные по упрощённой формуле Гомперца, а не по полной формуле Гомперца-Мейкема (формула 1).

Формула 1. Закон Гомперца-Мейкема:

\[\mu(x) = A + R{e}^{\alpha x}\]

где \(\mu(x)\) – коэффициент смертности в возрасте \(x\), \(A\) – не зависящий от возраста параметр (фоновая смертность, параметр Мейкема), \(R\) – предэкспоненциальный множитель, \(\alpha\) – показатель экспоненты.

Гаврилов и Гаврилова (1991) провели численный эксперимент (компьютерную симуляцию) и обнаружили4, что при таком способе анализа данных возникает ложная взаимозависимость между смещёнными оценками параметров Гомперца, даже несмотря на то, что эти параметры были фиксированы (неизменны) в компьютерной симуляции. Недоучет фоновой смертности – которая всегда присутствует в человеческих популяциях и может отсутствовать лишь в идеальных лабораторных условиях – приводит одновременно к переоценке предэкспоненциального множителя R функции Гомперца и недооценке показателя экспоненты &alpha (рис. 1; левая панель). Такое смещение оценок параметров приводит к ложной обратной корреляции между параметрами. Более того, эта ложная корреляция численно совпадает с корреляцией Стрелера-Милдвана (рис. 1; правая панель).

fig1 Рисунок 1 (правая панель). Совпадение ложной обратной корреляции между параметрами модели Гомперца с корреляцией Стрелера-Милдвана (5; рис. 28, стр. 122)

Эксперимент показал, что наличие корреляции Стрелера-Милдвана, отмечаемое во многих работах и широко цитируемое без должного критического осмысления, вполне может быть вызвано неверностью выбранной модели для работы с реальными данными о смертности в человеческих популяциях.

Объяснение новой статьи

Тархов и соавторы в своем исследовании показали, что корреляция параметров функции Гомперца может возникать и в лабораторных условиях при отсутствии фоновой смертности. Дело в том, что модель Гомперца (экспоненциальная функция роста смертности с возрастом) нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо она включает параметры (предэкспоненциальный множитель и показатель экспоненты) неаддитивно. Это приводит к тому, что оценки доверительных интервалов для этих параметров закоррелированы, образуя вытянутый (не ортогональный) эллипсоид рассеяния в пространстве оцениваемых параметров (рис. 2).

fig2 Рисунок 2. Корреляция параметров модели Гомперца на экспериментальных лабораторных данных (при отсутствии фоновой смертности). Примечание: на графике представлены оценки параметров модели Гомперца для случайных выборок из лабораторных данных смертности 768 когорт червей Caenorhabditis elegans 6 размером в 5, 20, 50 или 300 когорт (разные цвета). Собранные воедино, оценки параметров для всех случайных выборок показываю отчетливую негативную корреляцию оцениваемых параметров, причем эта корреляция устойчива к размеру выборки.

Случайная переоценка величины одного параметра сопряжена с недооценкой величины другого параметра. Таким образом, случайные ошибки измерения могут приводить к кажущейся зависимости между параметрами, которая совпадает с известной корреляцией Стрелера-Милдвана.

Выводы

Получается, что существует две независимые причины, приводящие к ложной корреляции Стрелера-Милдвана (каждой из них в отдельности достаточно для появления ложной корреляции):

  1. Недоучёт случайной фоновой смертности (параметра Мейкема).
  2. Закоррелированность доверительных интервалов для оценок параметров функции Гомперца.

Публикация в жунрале Демоскоп Weekly, #717-718

  1. Gompertz, B. (1825). On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 115, 513–583. https://doi.org/10.1098/rstl.1825.0026 ↩

  2. Strehler, B. L., & Mildvan, A. S. (1960). General Theory of Mortality and Aging. Science, 132(3418), 14–21. https://doi.org/10.1126/science.132.3418.14 ↩

  3. Makeham, W. M. (1860). On the Law of Mortality and the Construction of Annuity Tables. The Assurance Magazine, and Journal of the Institute of Actuaries, 8(6), 301–310. Retrieved from http://www.jstor.org/stable/41134925 ↩

  4. Gavrilov, L. A., & Gavrilova, N. S. (1991). Biology of Life Span: A Quantitative Approach. Chur Switzerland ; New York: CRC Press. ↩

  5. Гаврилов, Л. А., & Гаврилова, Н. С. (1991). Биология продолжительности жизни. Наука. (полный текст) ↩

  6. Ye, X., Linton, J. M., Schork, N. J., Buck, L. B., & Petrascheck, M. (2014). A pharmacological network for lifespan extension in Caenorhabditis elegans. Aging Cell, 13(2), 206–215. https://doi.org/10.1111/acel.12163 ↩